বাচ্চাদের ফিজিক্সঃ সরল ছন্দিত স্পন্দন

ক্লাস করে জীবন যখন যায় যায় অবস্থা, স্যার তখন বললেন, “আজকে ক্লাস এখানেই শেষ, কম পড়ালাম আজকে একটু”। হায়, এতো সুন্দর কথা কতো শতকে কেউ বলেনি! দৌড়ে হোস্টেলে রুমে ফিরে এসে ফ্যানটা ছেড়ে আরাম করে শুয়ে পরলাম। কিছুক্ষন ফ্যানের দিকে তাকিয়ে থেকে মাথা ঘুরাতে লাগলো, বুঝলাম, যতোক্ষন না লিখছি, মাথা ঘুরানো কমবে না।

আচ্ছা, ফ্যানের পাখার গতি, সাইকেলের চাকার গতি থেকে শুরু করে সুর্যের চারদিকে পৃথিবীর গতি – মিল পাও কি কোনো? একদম ঠিক ! সবাই ঘুরছে, ঠিক যেমন আমার মাথা ঘুরছে। এখন একটা কাজ করা যাক, যাদের ঘুরতে ইচ্ছা হয়, ওরা ঘুরুক, আমরা করি কি, ওদের ঘুরার রাস্তায় একটা লাল কাগজ রেখে দেই। এরপর চোখ বড় বড় করে তাকিয়ে থাকি !

এখন স্টপওয়াচ দিয়ে হিসাব করে যদি দেখো, প্রতিবার একই সময় পর পর ফ্যানের পাখা এসে কাগজটাকে টাশ টাশ করে ধাক্কা দিছে, তাহলে এই গতিটাকে বলে পর্যাবৃত্ত গতি (periodic motion)। ধরি, তুমি আমার সোজা কথা বুঝে ফেলেছো, তাহলে একটু দেখি বই এ কি লেখা আছে –

“কোনো গতিশীল বস্তু কণার গতি যদি এমন হয় যে, এটি এর গতিপথে কোন নির্দিষ্ট বিন্দুকে নির্দিষ্ট সময় পর পর একই দিক থেকে অতিক্রম করে, তাহলে সেই গতিকে পর্যাবৃত্ত গতি বলে”

– উচ্চ মাধ্যমিক পদার্থবিজ্ঞান (ড. শাহজাহান তপন, মুহম্মদ আজীজ হাসান, ড. রানা চৌধুরী)

দেখো তো, এক্কেবারে সোজা একটা জিনিস না? এখন, ধরো তুমি একটা সুতার এওপাশে একটা পিংপং বল ঝুলিয়ে দিয়েছো আরেক পাশ ঝুলিয়ে রেখেছো, এবার সামান্য একপাশে টেনে ছেড়ে দিলে কি হবে, বলো তো !

চলো দেখি, এ নিয়ে বইতে কি লেখা আছে –

“পর্যাবৃত্ত গতি সম্পন্ন কোন বস্তু যদি পর্যায়কালের অর্ধেক সময় কোন নির্দিষ্ট একদিকে এবং বাকি অর্ধেক সময় একই পথে বিপরীত দিকে চলে, তবে তাকে স্পন্দন গতি বলে”

– উচ্চ মাধ্যমিক পদার্থবিজ্ঞান (ড. শাহজাহান তপন, মুহম্মদ আজীজ হাসান, ড. রানা চৌধুরী)

একই কথা না? তোমার মাথা ঝাকানো দেখেই আমি বুঝতে পারছি, তুমি এক্কেবারে সব বুঝে ফেলেছো! এবার একটু উঠে বসো দেখি, সিরিয়াস কথা শুরু করা দরকার!

এ ছবিটা দেখো তো, এটা যে স্পন্দন গতি, সে বিষয়ে নিশ্চয়ই সন্দেহ নেই?

চলমান ছবি

আগের সরল দোলকের সাথে মিল পাচ্ছো না? একটু খেয়াল করো, আগের ছবিতে যেমন দোলকটা ২ নাম্বার জায়গা থেকে একবার ডানে আরেকবামে যাচ্ছিলো, এবারের ছবিতে দেখো, ১ নাম্বার স্থানে বস্তুটা স্থির আছে। আমি করলাম কি, একটু টেনে ২ নাম্বার স্থানে এনে ছেড়ে দিলাম, সেটা স্প্রিং এর টানে সংকুচিত হয়ে কিছুটা উপরে উঠে গেলো। XX’ কে আমরা মাঝের অক্ষ ধরে নিলে আগেরবারের মতো উপরে উঠার আর নীচে নামার সময় হিসেব করে যদি দেখি একই সময় লাগছে, এটাও তাহলে স্পন্দন গতি।

এখন কথা হলো, সরল ছন্দিত স্পন্দন জিনিসটা তাহলে কি? ছোটোবেলায় আমরা মোটামুটি সবাই দোলনায় চড়েছি, তাই না? যারা চড়ো নাই, এই লেখা শেষ করেই শিশুপার্কে একটা দৌড় দিয়ে চড়ে আসবা। দোলনায় চড়লে একজন পেছন থেকে ধাক্কা দেয়, সে ধাক্কায় আমরা সাই সাই করে উড়ে যাই, একটা পর্যায়ে আটকে যাই, এরপর বিপুল বেগে পেছনে যেতে থাকি, পেছনে গিয়ে উলটো দিকে আবার কিছুটা উঠে আটকে যাই, আবার সামনে বিপুল গতিতে এগিয়ে যাই। এই হলো মোটামুটি ঘটনা।

এবার ব্যাপারটাকে একটু কাটা ছেড়া করা যাক। ধরো, তুমি যখন দোলনায় মাত্র চড়লে, সেটা হলো মধ্যবিন্দু। তোমাকে ধাক্কা দেয়া হলো, পেছন থেকে সামনের দিকে। তাহলে ইনিশিএটিং কিংবা তুমি যেখানে অবস্থান করছো, সেখান থেকে তোমার অবস্থানের পরিবর্তন ঘটবে অর্থাৎ সরণ ঘটবে। ধাক্কার চোটে তুমি সামনে যাচ্ছো, একটা সময় আটকে যাবে। এ জায়গাটা আমাদের জন্য খুবি প্রয়োজনীয়, ভালো করে বুঝতে হবে। যে জায়গায় আটকে গিয়েছো, সেটাই কিন্তু তোমার সরণের শেষ বিন্দু, তাহলে বলা যায় তোমার সর্বোচ্চ সরণ হলো এইটুকুন, কিন্তু তুমি কেনো আটকে গেলে? কারণ, তোমার বেগ কমতে কমতে শুন্যতে পৌছে গিয়েছে। বেগ শুন্য হয়ে গেলেও কিভাবে এতো দূর এলে, মনে প্রশ্ন জাগে নিশ্চয়ই? আমারও জাগে খুব। এর কারণ হচ্ছে, ত্বরণ। চমক ভাইয়া খুব চমৎকার ভাবে ত্বরণটাকে বোঝানোর চেষ্টা করেছেন –

ব্যাপারটা আমি একটু আমার মতো করে তোমাকে অনুভব করাই। গতি বা বেগ আমরা এমনিতেই অনুভব করি, কত দ্রুত একটা বস্তু চলছে সেটা দিয়ে, ত্বরণকে অনুভব করবে কিভাবে? আমি এভাবে বুঝি সরল দোলকে ত্বরণ হলো বাড়ি ফেরার মনের টান। বাড়ি থেকে যত দূরে যাবে তত হোম সিক হয়ে পড়বে! ত্বরণের দিক সবসময় বাড়ির দিকে। যখন দূরে সরে যাচ্ছ যেদিকে সরছ তার উলটো দিকে তোমার যাওয়ার ইচ্ছে। যখন প্রান্তে পৌঁছে গেলে তখন ইচ্ছেটা অনেক জোরালো । এরপর বাড়ির দিকে ফিরছ। মন জুড়াচ্ছে । দৌড়ে দৌড়ে ফিরছ । যখন বাড়িতে ফিরে এসেছ তখন যদিও মন শান্ত ত্বরণ শূন্য , কিন্তু একটা ভুল হয়ে গেছে। ত্বরণের কারণে বেগ বাড়াতে বাড়াতে এমন অবস্থায় পৌঁছে গেছ, যে নিজেকে আর স্থির ধরে রাখতে পারলে না। বাড়ি এসেও পার হয়ে চলে গেলে। তারপর আবার পুরনো কাহিনী।

অর্থাৎ, তুমি যখন দোলনাতে চড়ে একেবারে ডানে কিংবা বামের শেষ বিন্দুতে পৌছে যাবে, তুমি সম্পুর্ণ সরণ ঘটালে, এবং ওখানে তোমার ত্বরণও সর্বোচ্চ। কিন্তু, তুমি ওখানে আটকে গেলে, কারণ বেগ কমতে কমতে শুন্য হয়ে গিয়েছে। এরপর যখন মাঝের বিন্দুর দিকে এগুতে থাকবে, বেগ বাড়তে থাকবে ঠিকই, কিন্তু ত্বরণ কমবে এবং মাঝে আসা মাত্র সরণ ও ত্বরণ শুন্য হয়ে যাবে, এরপর জড়তার কারণে আবারও তুমি আরেকদিকে চলে যেতে থাকবে।
এ কারণে এ সমীকরণকে এভাবে লেখা যায়,
ত্বরণ ∞ – সরণ   

এবার তাহলে সরল ছন্দিত স্পন্দন কিছুটা বুঝে থাকলে, সংজ্ঞাটা দেখি বই এ কি দেয়া আছে –

যদি কোন বস্তুর ত্বরণ একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে এর সরণের সমানুপাতিক এবং সর্বদা ঐ বিন্দু অভিমুখী হয়, তাহলে বস্তুর এই গতিকে সরল ছন্দিত স্পন্দন (simple harmonic motion) বলা হবে।

– উচ্চ মাধ্যমিক পদার্থবিজ্ঞান (ড. শাহজাহান তপন, মুহম্মদ আজীজ হাসান, ড. রানা চৌধুরী)

একটু একটু কি বোঝা যাচ্ছে ব্যাপারটা? আমরা খুব বেশী সমীকরণের দিকে যাবো না। সমীকরণ বইতেই দেয়া আছে, আমরা চেষ্টা করবো, বোঝার জন্য।

সরল ছন্দিত স্পন্দনের ৫টি বিশেষ বৈশিষ্ট্যের একটি হলো, এটি সরলরৈখিক গতি। এটা একটু ভালোভাবে বোঝা লাগে যে ভাইয়া !

সেলাই মেশিন জিনিসটা নিশ্চয়ই সবাই দেখেছো। সেখানে কি হয়, খেয়াল আছে? একজন পা দিয়ে একটা কি যেনো নড়াতে থাকে, পাশে বড় একটা চাকা ঘুরতে থাকে, আর সুইটা উপর নীচ হতে থাকে খালি। সুই যে উপরে নিচে উঠেছে আর নামছে, এটি যে সরলরৈখিক গতি, এতে তো কারও দ্বিমত নেই, তাই না? এখন ছবিটা দেখো। ছবিতে একটি চাকা আছে, আর নীচে আছে আরেকটি সরল রেখা। দু জায়গাতেই দুটি বিন্দু দেখানো হয়েছে। কল্পনা করে নাও, চাকাটা হলো সেলাই মেশিনের চাকা আর নিচের সরলরেখাটা হলো মেশিনের সুই। এখন চাকাটা ঘড়ির বিপরীত দিকে যখন ঘোরা শুরু করে তখন নিচের বিন্দুটি চাকার বিন্দুর সাথে একটি রেখা কিংবা হাতল দ্বারা যুক্ত হওয়ায়, সেটিও চলতে শুরু করে। দেখা যাচ্ছে, চাকার ঘুর্ণন গতির ফলে সৃষ্ট সরলরৈখিক গতি উতপন্ন হচ্ছে। এ ছবিটা দেখো, এক্কেবারে পানির মতো পরিষ্কার হয়ে যাবে যে আসলে সরল ছন্দিত স্পন্দন যে সরল রৈখিক গতি –

১ থেকে ৪ পর্যন্ত ছবি গুলো একের পর এক দেখলে বোঝা যায় যে, চাকাটি ঘড়ীর বিপরীত দিকে ঘুরছে, এর পার্শ্ব অর্থাৎ সাইড ভিউ তো একটি দৈর্ঘ প্রস্থ ছবি ছাড়া কিছুই নয়। চাকাটি ঘুরলে প্রকারান্তরে সাইড ভিউতে শুধু একটি বিন্দু উপর নীচ হচ্ছে বলেই দেখা যাবে। একই কান্ড ঘটে যখন একটি চাকাতে একটি বিন্দুকে নির্দিষ্ট করে দেয়া হয় এবং তার উপর একই টর্চ লাইটের আলো ফেলা হয়। ফলে বিন্দুটিএকবার পুরো বৃত্ত ঘুরে আসলেও, পেছনের পর্দায় শুধু বিন্দুটির ছায়া একবার উপরে, একবার নিচে নামলো দেখা যাবে –

এই যে বিন্দুটির বৃত্তাকার পথে গমন এবং তার প্রেক্ষিতে শুধু উলম্ব অক্ষে (y axis) ছায়ার উঠা নামা, একে এভাবে লেখা যায় কি?

y = Asinɵ

সমীকরণটি হচ্ছে একটি ব্যবকলনীয় সমীকরণের সমাধান, এটি পাঠ্যপুস্তকে দেয়া আছে, কিন্তু সেখানকার পদ্ধতিটি আমার কাছে ভালো লাগেনি। আগ্রহী জনতা সমাধানটি উইকি থেকে দেখে নিতে পারেন।

উইকি লিংকঃ http://en.wikipedia.org/wiki/Simple_harmonic_motion

কথা হচ্ছে, সমীকরণে SINE কেনো এলো ? আমরা আরও কিছু ছবি দেখি, ছবি মনের কথা বলে !

বৃত্তাকার চলমান বস্তুটিকে সাইড ভিউ থেকে যখন দেখেছিলাম আমরা, তখন দেখলাম এটির ছায়া শুধু উপরে আর নিচে উঠা নামা করছে। এবার উভয়কে একত্রে গ্রাফে প্লট করার চেষ্টা করি। চাকা ঘুরতে মাত্র শুরু করছে, বস্তুর ছায়া তখন একদম মাঝখানে। বস্তু ঘুরতে লাগলো, ছায়া আস্তে আস্তে উপরে উঠছে। চাকা চারভাগের এক ভাগ ঘোরা হলে, অর্থাৎ ৯০ ডিগ্রী ঘুরলে ছায়াটি সর্বোচ্চ পর্যায়ে পৌছে গেলো, চাকা আরও ঘুরতে লাগলো, অর্ধেক পথ ঘুরলে অর্থাৎ ১৮০ ডিগ্রী ঘুরলে বস্তুর ছায়া আবারও আগের মতো মাঝে অবস্থান করে। এরপরে আরও ঘুরলে, ৯০ ডিগ্রীতে এসে ছায়াটি সর্বনিম্ন পর্যায়ে এসে পৌছায়, শেষে সম্পুর্ণ ৩৬০ ডিগ্রী ঘুরে আগের জায়গাতে পৌছলে ছায়াটি একাবারে তার আগের জায়গাতে পৌছে যায়। কিছু কি মাথায় ঝাকা ঝাকি করছে? যা সন্দেহ করেছো তাই, আমরা এতোক্ষন একটা সাইন কার্ভের বর্ণনা দিয়েছি। সমীকরণে এভাবেই একটি সাইন কার্ভ ঘাপটি মেরে আছে।

আচ্ছা, বল তো ! আমরা যদি বলি, y = Acosɵ, তাহলে কি ভুল হবে? না, একেবারেই ভুল হবে না। ক্লাস নাইনেই আমরা শিখে এসেছি, sin0 Degree = Cos90 Degree, তাহলে, সাইনের সমীকরণ দ্বারা যদি বস্তুটির আদি অবস্থান একেবারে জিরো বুঝানো হয়, তাহলে Cos এর সমীকরণ দ্বারা বস্তুটির সর্বোচ্চ কিংবা সর্বনিম্ন থেকে শুরু হচ্ছে বলে বোঝানো হবে। সাইন, কোসাইন কিভাবে আসলো, বৃত্তের সাথে এদের সম্পর্ক কি, এই ছবি থেকে বুঝতে পারবে হয়তো !

সরল দোলকের ক্ষেত্রেও কথা কিন্তু একই ! দোলকের যে কোন একদিকের বিস্তারকে গ্রাফে ধনাত্মক ও অপরদিকের বিস্তারকে গ্রাফে ঋনাত্মক দিকে প্লট করলে ঘুরে ফিরে সেই সাইন কার্ভই পাওয়া যায়। আসো, আরো ছবি দেখি –

সংক্ষেপে এই ছিলো সরল ছন্দিত স্পন্দন। চেষ্টা করেছি, যতোটুক জানি, ততোটুক বোঝাবার। লেখার পর যা বুঝলাম, আসলে নিজেই ঠিক বুঝি না হয়তো।

কৃতজ্ঞতা স্বীকারঃ মাহমুদুল হাসান সোহাগ (সোহাগ ভাইয়া), চমক হাসান (চমকদা)