ভুং-ভাং ক্যালকুলাসঃ কচকচানি- ৪ (সমাপ্তি পর্ব)

(কচকচানি- ৩ এর পর থেকে… )

এবারে আমরা ক্যালকুলাসের ভেতরের কথাগুলো নিয়ে একটু নাড়াচারা করবার চেষ্টা করি। দেখা যাক, কদ্দুর কি হয়­­­ – ক্যালকুলাসের মূল আলোচনা দুই অংশে বিভক্ত। একটা হল ডিফারেন্সিয়েশান, আর অন্যটা ইন্টিগ্রেশান।

ডিফারেন্সিয়েশানঃ
কলেজের স্যারের কাছ থেকে প্রথম যা জেনেছিলাম, তা হল, ‘  বা,  কে ডিফারেন্সিয়েশান বলে’। এই সংজ্ঞাটা যে আসলে ঠিক না বেঠিক, তা নিয়ে আমি সন্দিহান।
যাই হোক, সেদিকে না যাই। ডিফারেনসিয়েশান মানে হল, পিচ্চিকরন। এর সাহায্যে আমরা ক্ষুদ্র পরিবর্তন বের করি – এইটুকু যদি বুঝে থাকেন তাহলেই হবে।
স্যারের ঐ কথাটার মানে হল, y = f(x) হলে x এর ক্ষুদ্র পরিবর্তনে f(x) বা y এর পরিবর্তনের হার নির্ণয় করাকেই ডিফারেনসিয়েশান বলে। y এর পরিবর্তনের এই হারটাকে আমরা বলি ডেরিভেটিভ বা অন্তরক।

তারমানে, ডিফারেন্সিয়েশানে আমরা ক্ষুদ্র পরিবর্তন বের করি, যাকে আমরা  দিয়ে প্রকাশ করি। দেখা যাক, এই কাজটা ঠিক কিভাবে করা হয়ঃ
শুরুতেই একটু পুরোনো কথা মনে করিয়ে দেই –

উপরের সমকোণী ত্রিভুজ ২টির  এর মান সমান হলে তাদের (লম্ব/ভুমি) অর্থাৎ,  এর মান ও অবশ্যই সমান হবে। এ আর এমন কি, সব ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের জন্যেই এটা সত্য- সবাই জানিই! 😀 

যাই হোক, ডিফারেন্সিয়েশানের জন্যে প্রথমে একটা ফাংশন লাগবে। আমরা সেই ফাংশনের পিচ্চিকরণ করব। ধরা যাক, সাকিব আল হাসান বিপিএল-২০১৩ এর ম্যান অফ দ্যা টুর্নামেন্ট হয়ে জিতে নিয়েছেন Ford Fiesta কার। তিনি তার নব বিবাহিত স্ত্রীকে নিয়ে লং ড্রাইভে যাচ্ছেন। আমরা গরীব মানুষ, আমরা তো আর ফিয়েস্টায় চড়তে পারি না, তাই সাকিবের গাড়ীর গতিবেগ নিয়েই গবেষণা করছি। আমরা গরীব মানুষ, দুধের স্বাদ ঘোলে না, ঘোলের গন্ধে মেটাই…  🙁
সাকিবের গাড়ীর ক্ষেত্রে অতিক্রান্ত দূরত্বকে আমরা s আর সময়কে t দিয়ে প্রকাশ করব। এখন ধরা যাক, ফিয়েস্টার চলনের ফাংশন  হল,  ।

এখন, গবেষণা করে আমরা যে ডাটা পেলাম, তা অনেকটা এমনঃ
0 সেকেন্ড পর বাড়ী থেকে ফিয়েস্টার অতিক্রান্ত দুরত্ব ০ মিটার (  )
1 সেকেন্ড পর বাড়ী থেকে ফিয়েস্টার অতিক্রান্ত দুরত্ব 1 মিটার (  )
2 সেকেন্ড পর বাড়ী থেকে ফিয়েস্টার অতিক্রান্ত দুরত্ব 4 মিটার (  )
3 সেকেন্ড পর বাড়ী থেকে ফিয়েস্টার অতিক্রান্ত দুরত্ব 9 মিটার (  )

সাকিব যখন বাড়ী থেকে ফিয়েস্টা ড্রাইভ করা শুরু করেন, অর্থাৎ, সময় গননার শুরুতে (t=0) গাড়িটির অতিক্রান্ত দুরত্ব ০। 1 সেকেন্ড পরে (t=1) তা হয় 1 মিটার, 2 সেকেন্ড পর 4 মিটার… এভাবে বিভিন্ন সময়ের জন্য অতিক্রান্ত দুরত্বের ডাটা নিয়ে আমরা গ্রাফ পেপারে প্লট করলে মোটামুটি এইরকম একটা কার্ভ বা বক্র রেখা পেতে পারি-

এখন এই বক্ররেখার উপর যে কোন জায়গায় এমন যেকোন দুইটা  বিন্দু P আর Q নেই যারা একজন আরেকজনের ‘খুউউউব কাছাকাছি’ অবস্থান করে, এতই কাছাকাছি যেন এদের মাঝের সংযোজক অংশটাকে ‘সরলরেখা’ বলা যায়। মনে করুন, এখানে জুম করে দেখান হয়েছে, তাই বিন্দু দুইটাকে এত্ত দূরে দূরে বলে মনে হচ্ছে, আসলে তারা খুউউউবইই কাছাকাছি সুখে-শান্তিতে বসবাস করছে…

এখন একটু ভালভাবে খেয়াল করে দেখুন তো, আমরা ধরে নিয়েছি যে ফিয়েস্টা অতি অল্প সময়, Δt (ধরে নিতে পারেন ১ সেকেন্ডের ১ কোটি ভাগের ১ ভাগ সময়ে) পরে P থেকে Q তে পৌছবে। । এই অতি অল্প সময়ের মাঝে ফিয়েস্টার অতিক্রান্ত ‘অতি অল্প দূরত্ব’কে Δs ধরা নেয়া যাক।
তাহলে, ১ সেকেন্ডে (একক সময়ে) অতিক্রান্ত দুরত্ব কত হবে?
অবশ্যই  !!
আরে, আমরা না এইটা বেগের সংজ্ঞা দিতে গিয়ে শিখেছিলাম!!
এইটা তো আবার ঢালও!!
হ্যাঁ! আর ফিজিক্স বইয়ে আমরা ঠিক এই জিনিসটাই শিখেছিলাম!! ☻☻

আসলে ডিফারেন্সিয়েশানে প্রাথমিকভাবে আমরা ঢালই বের করি!! এর বেশি কিছু না।

সে যাকগে, এখন বলুন তো, বক্ররেখাটির সব জায়গায় কি   এর মান কি সমান হবে??
অবশ্যই না!!
এই বক্র রেখা চেহারাখানাই বারবার চিৎকার করে বলছে, তার ঢাল মোটেও সবজায়গায় সমান না!।
তারমানে, ফিয়েস্টার বেগ প্রতি মূহুর্তে বদলে যাচ্ছে। Δt এর এইরকম পিচ্চি মানের জন্য    কে   দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

এখন PQ কে একটু টেনেটুনে বড়সড় করে নিচের মত একটা ত্রিভুজ বানানো যাক-

লক্ষ্য করুন, এইখানে দুই-দুইটা  কোণ। তো একটু মিলিয়ে দেখুন তো,  লিখা যায় না?  [ ছোট ত্রিভুজে হিসাব করা ঝামেলা, তাই আমরা ছলে বলে কৌশলে ছোট ত্রিভুজটাকে মাড়িয়ে বড় ত্রিভুজে চলে গেছি, হু…হা…হা… 8) ]

এখানে,  টা আসলে ঢাল, তা তো বুঝতেই পারছেন। [ বর্ধিত রেখাটা কিন্তু আসলে বক্ররেখাটার উপর স্পর্শক, মোটা করে আঁকায় বুঝতে একটু সমস্যা হতে পারে ]।

তার মানে, দেখুন, এই  এর মান জানলে আমরা গাড়ির যেকোনো মুহূর্তের বেগ জানতে পারি। তখন বলেছিলাম এখানে শুরুর দিকে   এর মান কম এবং এই মান পরিবর্তিত হয়েছে। এখন মিলিয়ে দেখুন।  এর মানও ঠিক একই তালে পরিবর্তিত হয়েছে। ঠিক কিনা?  গ্রাফ থেকে এখন বলাই যায়,  বা,   বা, বেগ সময়ের সাথে সাথে কমে গেছে [ ধারাভাষ্যকাররা কত চেচাইল, এত্ত না ভাল গাড়ী! এই দশা কেন?? বেগ কইম্যা যায়!! 😛 ]।

এটা তো গেল শুধু সময় আর দুরত্ব’র নিয়ে কচকচানি। আপনি যদি y-অক্ষ বরাবর রাখেন গাড়ির বেগ এবং x-অক্ষ বরাবর রাখেন সময় তাহলে পাবেন যে কোন মুহূর্তের জন্য একক সময়ে বেগের পরিবরতনের হার, মানে ত্বরন.. .. .. এবং এইভাবে আপনি আরো চাইলে.. .. ..  আররে, এটাতে তো ব্যাপক মজা!!

একটা জিনিস খেয়াল করেছেন, এখানে কিন্তু সবকিছুর জন্যেই আমরা চলকের উপর নির্ভর করছি!!
ধ্রুবক হলে কি সমস্যা হত? আচ্ছা, ধ্রুবক দিয়ে একটা ফাংশনের কথা ভাবা যাক।
ধরুন, যদি ফিয়েস্টার চলনের সমীকরনটা এমন –  s = 8 । এর মানেটা আসলে কি দাঁড়ায়?

এ আর এমন কি, মানে s এর মান t এর উপর নির্ভর করে না, অর্থাৎ সব সময়ই এর মান ৮। মানে গাড়ীটা ধ্রুব বেগে চলে আরকি, সবসময় এর বেগ সমান থাকে। সাকিবের কানের কাছে এটম বোমা ফাটলেও সে একই গতিতে গাড়ী চালাতে থাকে!!

গ্রাফটা হবে উপরের চিত্রের মত। খেয়াল করুন, এইখানে যেকোনো ২ টা বিন্দুই নেন না কেন,  Δt এর জন্য Δs মান সব সময়ই শুন্য। অর্থাৎ, =0

স্পর্শক আঁকলে  দেখা যাবে তা সর্বদা x-অক্ষের সাথে 0⁰  কোন উৎপন্ন করে। ফলে tan= tan 0⁰ = ০। আসলে এইটার মানে কি? এইটার মানে হল, যেকোন ধ্রুবককে যদি ডিফারেন্সিয়েট করা, ফল হবে শুন্য।

আচ্ছা, খেয়াল করেছেন, আমরা কিন্তু ঢাল বের করে ফেলার কাহিনীটা দেখে ফেলেছি! মানে, ডিফারেন্সিয়েশান জিনিসটা আমাদের দেখা হয়ে গেছে!!!

এবারে যাওয়া যাক, সমাকলনের দিকে-

যোগজীকরণ (Integration):
যোগজীকরণের আরেকটা  নাম আছে, সেটা হল ‘প্রতি অন্তরক’ (Anti Differentiation)। এই নামটা থেকেই বোঝা যায়, এইখানে আসলে আমরা কি করব।
ডিফারেন্সিয়েশান এ আমরা অতি ক্ষুদ্র পরিবর্তনের সাপেক্ষে ক্ষুদ্র বিভিন্ন মান বের করেছিলাম। আর এইখানে ক্ষুদ্র ঐ মানগুলোকে যোগ করে আবার পুরো রাশিটা বের করব।

ইন্টিগ্রেশানের একটা স্পেশাল চিহ্ন আছে –  ‘\∫’। এই চিহ্নটা আসলে তেমন কিছু না, একটা ইংরেজি ‘S’ কে দুই ধরে টান দিয়ে এমন বানিয়ে দেয়া হয়েছে। এর নাম হল ‘summa’। এইটা একটা গ্রিক শব্দ, এর অর্থ হল যোগফল।  ইংরেজি ‘Summation’ শব্দটা  কিন্তু এই ‘Summa’ থেকেই এসেছে।

‘ইন্টিগ্রেশন বা সমাকলন হল গণিতশাস্ত্রের এমন একটি শাখা যা সংক্ষেপে অন্তরকলনের বিপরীত পদ্ধতি’।  একটি বাস্তব চলরাশি যদি x এবং সংখ্যারেখায় একটি ব্যবধান [a,b] হয় ফাংশন f এর নির্দিষ্ট সমাকল হল-
আবার, যদি একটি প্রদত্ত ফাংশন F যার অন্তরকলন হয় ফাংশন f সেক্ষেত্রে, F কে একটি অনির্দিষ্ট সমাকল বলা হয় এবং একে লেখা হয়-
যদি [a,b] ব্যাবধিতে f একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন হয় , এবং f র অনির্দিষ্ট সমাকল F হয়, তাহলে ঐ ব্যাবধির মধ্যে f এর নির্দিষ্ট সমাকল হবে-

সমাকলন এর কলনবিদ্যা প্রতিষ্ঠাতারা একটি ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র প্রস্থ এর বর্গক্ষেত্র অসীম সমষ্টি হিসাবে কল্পনা করেন। একটি যথাযথ সমাকলন এর গাণিতিক সংজ্ঞা দেন বের্নহার্ট রিমান। তার মতে ” এটি একটি সীমা-পদ্ধতি, যাতে একটি বক্ররেখা-বেষ্টিত অঞ্চল পাতলা উল্লম্ব স্ল্যাব-অঞ্চলে ভেঙে ক্ষেত্রফল পরিমাপ করা হয় “। যোগজীকরণ বলতে বলতে আসলে একটা অসীম ধারার সমষ্টি নির্ণয় করা বোঝায়। যদি কোন অসীম ধারার প্রতিটি পদের মান অপরিমেয়ভাবে ক্ষুদ্র হয়ে 0 এর খুউউউব কাছাকাছি হয়, তাহলে ও ধারার যোগফলের কোন বাস্তব মান আছে কিনা, তা নির্ধারণ করাই যোগজীকরণ বিদ্যার প্রাথমিক উদ্দেশ্য। আসলে, বক্ররেখা দিয়ে আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল বের করতে গিয়েই, এই সমাকলন বিদ্যার উদ্ভব হয়। ডিফারেন্সিয়েশান করে আমরা যে অসঙ্খ্য ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র মানগুলো পেয়েছি, সেগুলো দিয়ে গঠিত অসীম ধারার সমষ্টিই হল যোগজীকরণ ফল বা সমাকলন ফল।

সমাকলনকে বিশেষ আকারের অসীম ধারার মান নির্ণয়ের প্রক্রিয়া এবং অন্তরকের বিপরীত প্রক্রিয়া – ২ ভাবেই বিবেচনা করা যায়। ঐতিহাসিকভাবে দেখা হলে, সমাকলনকে অসীম ধারার সমষ্টি নির্ণয়ের প্রক্রিয়া বলাই শ্রেয়। কিন্তু, বর্তমানকালে সাধারণত আমরা অন্তরকলনের বিপরীত প্রক্রিয়া বলেই আলোচনা করি।

কি, খুব কাঁঠখোট্টা লাগছে? আসলে, অন্তরকলনের মূল আলোচনা করার মত শক্তি এখন আর আমার গায়ে অবশিষ্ট নাই। আগামী পর্বে একটু বিস্তরিয়া বলার চেষ্টা করবনে…
সামনে পরীক্ষা। পড়তে যাই… ভাল থাকবেন। সবার জীবনের সেকেন্ড ডেরিভেটিভ নেগেটিভ হোক… 😉

[ এই লেখাটি মূলত লিখেছিলাম আমাদের  বিজ্ঞান স্কুল ম্যাগাজিনের প্রথম সংখ্যার জন্যে। সত্যি বলতে, এটা আমার লেখার কথা ছিলনা। পরবর্তীতে একটা সমস্যার কারণে আমাকে লিখতে হয় এবং এক রাতেরও কম সময়ের মাঝে লিখে ছবি-টবি ইলাস্ট্রেশানের কাজ করে শেষ করতে হয়। ফলাফল, মনের মত করে সাজিয়ে গুছিয়ে সুন্দরভাবে বিষয়টাকে তুলেই ধরতে পারি নি 🙁 । আমি সেজন্যে ক্ষমাপ্রার্থী সবার কাছে। আশা করি, স্রষ্টার কৃপা হলে ভবিষ্যতে এর চেয়ে ভাল কিছু উপহার দিতে পারব। 🙂 ]